Triangle Mesh.

Nell’ambito della computer grafica 3D e nella modellazione di solidi, la “mesh poligonale”, è un insieme di vertici, spigoli e facce che definiscono la forma di un oggetto poliedrico.
Le facce consistono in rettangoli, triangoli o altri semplici poligoni.
Solitamente le mesh rappresentano esplicitamente solo la superficie (il volume è implicito, l’interno della forma creata è vuoto, la funzione delle mesh perciò è solamente quella di rappresentare la superficie esterna).

Una mesh poligonale può essere costituita da diversi tipi di facce:
Mesh triangolari
Mesh composte da quadrilateri (quad-mesh)
Mesh miste (triangolari e quadrangolari)
Mesh composte da poligoni arbitrari

Nello specifico la “triangle mesh” è costituita da un insieme di triangoli collegati fra loro attraverso spigoli e vertici comuni.
Il termine mesh in inglese significa letteralmente "maglia", "rete".

Elementi che compongono una mesh:

01. Vertice: Ogni oggetto tridimensionale è composto da punti nello spazio chiamati vertici, ciascuno ha una posizione specifica definita dalle sue coordinate x, y, z.

02. Facce (Faces): Le facce sono i poligoni che collegano i vertici per formare superfici.

03. Spigoli (Edges): Gli spigoli sono i bordi che collegano due vertici; ogni spigolo appartiene a una o più facce.

04. Texture Mapping: Le mesh poligonali possono essere "mappate" con texture per aggiungere dettagli visivi. Ciò comporta la proiezione di una texture 2D su una superficie 3D in base alle coordinate della mappa UV. Un esempio concreto può essere il mappamondo sferico e l’atlante bidimensionale.

05. Fans e strips: Una sequenza di triangoli adiacenti che condividono lo stesso vertice è detta fan (ventaglio) di triangoli. Una strip è una sequenza di triangoli che condividono determinati vertici, La quantità di vertici salvata incrementa con il numero di triangoli; ad esempio per una strip di 100 triangoli i vertici saranno 102.

Le mesh triangolari sono ampiamente utilizzate nella computer grafica per diverse ragioni:

Semplicità: I triangoli sono la forma più semplice di poligoni e la loro manipolazione è relativamente facile da gestire

Compatibilità: Molte procedure e algoritmi di grafica 3D sono progettati per lavorare con mesh triangolari, rendendole una scelta pratica per la rappresentazione di oggetti tridimensionali e realistici.

Efficienza di rendering: La maggior parte dei motori di rendering utilizza per la resa 3D, mesh triangolari, il che rende la visualizzazione delle scene più efficiente.

Interpolazione lineare: La rappresentazione di un'area piana mediante triangoli consente un'interpolazione lineare, semplificando calcoli come l'illuminazione, il texturing e la deformazione.

Ogni mesh-face presenta un lato anteriore ed un lato posteriore.

Il vettore perpendicolare rispetto ad una face è definito “normale”. La normale viene utilizzata per determinare l’angolo di riflessione dei raggi luminosi che colpiscono la superficie della mesh-face. In questa situazione valgono le proprietà di riflessione dei raggi, un raggio incidente sarà uguale per ampiezza al raggio riflesso.

Il singolo vertice ha anche una normale rivolta nella direzione determinata dalla media tra le direzioni delle normali delle superfici a cui appartiene il vertice stesso.

Formula per calcolare la normale di un triangolo, esplicitati i suoi punti.

La mesh può essere definita Manifold dal momento in cui ciascun spigolo condivide un massimo di 2 facce;

L’oggetto che stiamo modellando attraverso le mesh è uno SPAZIO TOPOLOGICO*, questo spazio topologico può essere deformato. Si definiscono spazi omeomorfi, spazi topologici deformabili che presentano le medesime proprietà topologiche nonostante la forma apparente risulti diversa.

Ad esempio una sfera ed una forma indefinita generata dalla precedente sono omeomorfe.

*Lo spazio topologico è il più generale tipo di spazio con il quale, attraverso la nozione di intorno, si formalizzano relazioni di “vicinanza” e di “continuità” senza necessità di introdurre concetti metrici quali per esempio quelli di distanza, di direzione o di angolo.

Uno spazio topologico X è un insieme contenente sottoinsiemi (costituiti da vuoto e elementi vari) definiti T.

Lo spazio topologico soddisfa i seguenti assiomi:

il vuoto e il sottoinsieme T, appartengono a X e sono aperti

l’unione di qualsiasi famiglia di aperti è un aperto

l’intersezione di qualsiasi famiglia finita di aperti è un aperto

Esempio concreto: Mappamondo sferico contiene le informazioni sotto forma di coordinate numeriche e porta con sé adeguate proporzioni, noi sappiamo che possiamo realizzare una mappa bidimensionale (atlante), partendo da MANIFOLD è possibile riportare i medesimi punti del Manifold tridimensionale su un piano bidimensionale mantenendo le medesime proporzioni.

Questo è un esempio di una mesh non-Manifold:

In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero invariante che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico.

Si denota comunemente con 𝒳

V = vertici E = spigoli F = facce